Question

3．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$（n≥2），若c_n=a_n+b_n．
（1）证明：数列{c_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）根据题设得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2），即可得到数列{c_n}是等差数列；
（2）由（1）可得数列{c_n}的通项公式c_n；

解答 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$（n≥2），得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2），
∴{c_n}是首项为a₁+b₁=3，公差为2的等差数列；
（2）由数列{c_n}是以c₁=3为首项，2为公差的等差数列，得
c_n=3+2（n-1）=2n+1．

点评 本题主要考查等差数列的性质以及数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．