Question

18．若对任意实数x＞0，x+$\frac{1}{x+a}$＞a恒成立，则实数a的范围是[0，1]．

Answer 1

分析 由题意可得x+a+$\frac{1}{x+a}$＞2a恒成立，讨论当x+a＞0，当x+a＜0时，运用基本不等式，结合恒成立思想即可得到a的范围．

解答 解：对任意实数x＞0，x+$\frac{1}{x+a}$＞a恒成立，
即为x+a+$\frac{1}{x+a}$＞2a恒成立，
当x+a＞0，由恒成立可得a≥0，
即有x+a+$\frac{1}{x+a}$≥2$\sqrt{（x+a）•\frac{1}{x+a}}$=2，
当且仅当x=1-a，取得最小值2．
即有2a＜2，解得a＜1，
当a=1时，有x+1+$\frac{1}{x+1}$＞2恒成立，
即有0≤a≤1；
当x+a＜0时，x+a+$\frac{1}{x+a}$≤-2$\sqrt{（x+a）•\frac{1}{x+a}}$=-2，
由于x+a+$\frac{1}{x+a}$有最大值，无最小值，故不恒成立．
故答案为：[0，1]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．