Question

8．已知函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如下图所示，则$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为3．

Answer 1

分析 由y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得a+b=3，即$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}=1$，由$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}$）（$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$），展开后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），
∴a+b=3，则$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}=1$，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}$）（$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$）=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{4b}{3a}+\frac{a}{3b}$
=$\frac{5}{3}+（\frac{4b}{3a}+\frac{a}{3b}）≥\frac{5}{3}+2\sqrt{\frac{4b}{3a}•\frac{a}{3b}}=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=3$．
上式当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=1}\\{a=2b}\end{array}\right.$，即a=6，b=3时取“=”．
故答案为：3．

点评 本题考查指数函数的图象变换，训练了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的灵活运用，是基础题．