【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的极值点;
(2)若,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,无极值点;当
时,极值点为
;当
且
时,极值点为
和
;(2)
.
【解析】
(1)先求出函数的导数,讨论
、
、
且
即可求出函数的极值点;
(2)由题意可将,
恒成立转化为
时,
恒成立,然后构造函数
,分
,
与两种情况讨论,分别用导数的方法研究其在
上的单调性和值域,即可筛选出符合题意的
的取值范围.
(1),
当时,
,故无极值点;
当时,函数
只有一个极值点,极值点为
;
当且
时,函数
有两个极值点,分别为
和
.
(2),依题意,当
时,
,
即当时,
.
设,则
.
设,则
.
①当时,
,
,从而
(当且仅当
时,等号成立),
在
上单调递增.
又,
当
时,
,从而当
时,
,
在
上单调递减,又
,
从而当时,
,即
,
于是当时,
.
②当时,令
,得
,
.
故当时,
,
在
上单调递减.
又,
当
时,
,从而当
时,
,
在
上单调递增,又
,
从而当时,
,即
,
于是当时,
,不符合题意.
综上所述:实数的取值范围为
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,﹣2),B(4,0),圆C经过点(0,﹣1),(0,1)及(,0).斜率为k的直线l经过点B.
(1)求圆C的标准方程;
(2)当k=2时,过直线l上的一点P向圆C引一条切线,切点为Q,且满足PQ=,求点P的坐标;
(3)设M,N是圆C上任意两个不同的点,若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点,求k的取值范围.
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【题目】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:,
,
,
≈2.646.
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
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【题目】已知椭圆:
的上顶点为A,以A为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为
、
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不经过点A的直线与椭圆
交于P、Q两点,且
,试探究直线
是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
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【题目】某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式:
方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试
方式二:周六一天培训4小时,周日测试
公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组记为甲组、乙组
先培训;甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如表:
第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | |
甲组 | 20 | 25 | 10 | 5 |
乙组 | 8 | 16 | 20 | 16 |
用方式一与方式二进行培训,分别估计员工受训的平均时间
精确到
,并据此判断哪种培训方式效率更高?
在甲乙两组中,从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人来自甲组的概率.
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【题目】如图,在三棱柱中,
底面
,△ABC是边长为
的正三角形,
,D,E分别为AB,BC的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点M,使
平面
?说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,以
为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求与
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若与
的交于
点,
与
交于
、
两点,求
的面积.
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