Question

【题目】在四棱锥中，底面是菱形，且，，，，.

（1）证明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）先连接，AC与BD交点为E,连接PE，先证直线平面，进而可得，再由，，即可得出平面；

（2）取的中点，由题意可得EB、EC、EF两两垂直，因此以E点为坐标原点建立坐标系，分别求出两平面的一个法向量，进而求两法向量夹角余弦值，由题中图形判断二面角时锐角还是钝角，即可求出二面角的余弦值.

（1）证明：连接，设，连接.

因为底面是菱形，所以，.

因为，，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以.

因为，，所以平面.

（2）解：取的中点.

因为平面，所以平面.

故以为原点，分别为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

故，，.

设平面的法向量为.

则，不妨取，则.

设平面的法向量为，

则，不妨取，则.

记二面角的平面角为，易知为锐角，

则.

故二面角的余弦值为.