【题目】已知梯形ABCD中,,如图(1)所示.现将△ABC沿边BC翻折至
A'BC,记二面角A'—BC—D的大小为θ.
(1)当θ=90°时,如图(2)所示,过点B作平面与A‘D垂直,分别交于点E,F,求点E到平面
的距离;
(2)当时,如图(3)所示,求二面角
的正切值
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求得的长,利用等体积法计算出点E到平面
的距离.
(2)作出二面角的平面角,由此求得其正切值.
(1)因为平面平面
,平面
平面
,
,
平面
,
所以平面
,又
平面
,所以
,
因为平面
,
平面
,所以
又,
平面
,
所以平面
,又
平面
,所以
,
在中,
,
又平面平面
,平面
平面
,
,
平面
,
所以平面
,又
平面
,所以
,
在中,
,
所以,
在中,
,
设点到平面
的距离为
,
因为,所以
,
,所以
;
(2)过点作直线
//
,过
作
交
于点
.
因为,所以
,又因为
,
所以就是二面角
的平面角,
所以,因为
,所以
,
过点作
交
于点
,连接
,
因为,
,
,所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
又因为平面平面
,
,
平面
所以平面
,
因为,
,所以
平面
,
因为平面
,所以
,
所以是二面角
的平面角,
在中,
,
,
所以二面角的正切值为
.
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【题目】疫情期间,有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:
所用时间 | 10 | 11 | 12 | 13 |
通过公路1的频数 | 20 | 40 | 20 | 20 |
通过公路2的频数 | 10 | 40 | 40 | 10 |
(1)为进行某项研究,从所用时间为12的60辆汽车中随机抽取6辆,若用分层随机抽样的方法抽取,求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆:
(2)若从(1)的条件下抽取的6辆汽车中,再任意抽取2辆汽车,求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率;
(3)假设汽车A只能在约定时间的前11h出发,汽车B只能在约定时间的前12h出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙,汽车A和汽车B应如何选择各自的道路?
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【题目】已知函数.
(1)若在
处有极值,问是否存在实数m,使得不等式
对任意
及
恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
;
(2)若,设
.
①求证:当时,
;
②设,求证:
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【题目】如图,在等腰中,斜边
,
为直角边
上的一点,将
沿直线
折叠至
的位置,使得点
在平面
外,且点
在平面
上的射影
在线段
上设
,则
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知圆和点
.
(1)过点向圆
引切线,求切线的方程;
(2)求以点为圆心,且被直线
截得的弦长为8的圆
的方程;
(3)设为(2)中圆
上任意一点,过点
向圆
引切线,切点为
,试探究:平面内是否存在一定点
,使得
为定值?若存在,请求出定点
的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D为侧棱AA1的中点.
(1)求异面直线DC1,B1C所成角的余弦值;
(2)求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.
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