Question

【题目】已知圆和点.

（1）过点向圆引切线，求切线的方程；

（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；

（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）存在；定点时，定值为或定点时，定值为.

【解析】

（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断为圆的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.

（2）由点到直线距离公式可先求得点到直线的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆的方程；

（3）假设存在定点，使得为定值，设，，，根据切线长定理及两点间距离公式表示出，代入并结合圆M的方程，化简即可求得，进而代入整理的方程可得关于的一元二次方程，解方程即可确定的值，即可得定点坐标及的值.

（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；

当切线的斜率存在时，设直线方程为，

即，

∴圆心到切线的距离为，解得，

∴直线方程为

综上切线的方程为或.

（2）点到直线的距离为，

∵圆被直线截得的弦长为8，∴，

∴圆的方程为.

（3）假设存在定点，使得为定值，设，，

∵点在圆上，

∴，则

∵为圆的切线，

∴，∴，

，

∴

即

整理得

若使对任意，恒成立，则，

∴，代入得，

化简整理得，解得或，

∴或

∴存在定点，此时为定值或定点，此时为定值.