Question

【题目】已知函数.

（1）若在处有极值，问是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.；

（2）若，设.

①求证：当时，；

②设，求证：

Answer 1

【答案】（1）存在，；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

（1）根据微积分基本定理求得，由，求得参数；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数的范围；

（2）①求得，利用导数求得的单调性，即可容易证明；

②由①中所求，可得，利用对数运算，即可证明.

由题可知，.

（1）由，可得，.

又当时，，

故在区间单调递减，在单调递增.

故函数在处取得极值，所以.

∵，.

∴，

当时，由上述讨论可知，单调递增，

故

不等式对任意及恒成立，

即：，

即：对恒成立，令，

，

即，且，

整理得，且，

解得：，即为所求.

（2）①∵，

当时，，在上单调递减，

即证.

②由①可得：

令：，得，即：

=

即证.