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如图,在四棱锥ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1.

(Ⅰ)求PD与BC所成角的大小;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-D的大小.
(1)60o
(2)根据题意,由于BC⊥AC,且有PA⊥BC,则可以根据线面垂直的判定定理来得到结论。
(3)60 

试题分析:(Ⅰ)取的AB中点H,连接DH,易证BH//CD,且BD="CD" 1分
所以四边形BHDC为平行四边形,所以BC//DH
所以∠PDH为PD与BC所成角2分
因为四边形,ABCD为直角梯形,且∠ABC=45o, 所以DA⊥AB
又因为AB=2DC=2,所以AD=1, 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形,所以PD=DH=PH=,故∠PDH=604分
(Ⅰ)连接CH,则四边形ADCH为矩形, ∴AH=DC  又AB=2,∴BH=1
在Rt△BHC中,∠ABC=45o , ∴CH=BH=1,CB= ∴AD=CH=1,AC=
∴AC2+BC2=AB2   ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC  8分
(Ⅲ)如图,分别以AD、AB、AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由题设可知:

A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),
=(0,0,1),=(1,1,-1) 9分
设m=(a,b,c)为平面PAC的一个法向量, 则,即
,则,∴m=(1,-1,0)  10分
同理设n=(x,y,z) 为平面PCD的一个法向量,求得n=(1,1,1) 11分
 12分
所以二面角A-PC-D为60 13分
点评:主要是考查了空间中线面角和二面角的平面角的求解,以及线面垂直的判定,属于基础题。
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在三棱拄中,侧面,已知.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)试在棱(不包含端点)上确定一点的位置,使得
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求和平面所成角正弦值的大小.                                    

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如图,在长方体中,,的中点,的中点.

(I)求证:平面;
(II)求证:平面;
(III)若二面角的大小为,求的长.

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(Ⅱ)设D是BB1的中点,求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.

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已知三棱柱
A.B.C.D.

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如图,空间四边形的对棱的角,且,平行于的截面分别交

(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)的何处时截面的面积最大?最大面积是多少?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题


几何体EFG —ABCD的面ABCD,ADGE,DCFG均为矩形,AD=DC=l,AE=

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(Ⅱ)线段DG上是否存在点M使直线BM与平面BEF所成的角为45°,若存在求等¥ 的值;若不存在,说明理由.

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如下图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是(  )
A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④不是棱柱

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的:

(1)试判断是否在平面内;(回答是与否)
(2)求异面直线所成的角;
(3)如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多可以盛多少体积

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