Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点p向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO，求使PM的长取得最小值的点P的坐标．
（3）直线l与圆C相交于A，B两点，点N（0，

5

3

）为线段AB的三等分点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；
（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值；
（3）显然直线过点N（0，

5

3

），所以可设直线方程的点斜式（没斜率的只需要验证一下），只需要一个条件列出关于k的方程即可，则点N是三等分点就是要找的等量关系，具体来说，只需先用点到直线距离公式表示出圆心到直线l的距离，半径已知，则弦长l可表示，则弦的中点S到N的距离为

1

6

l，然后在直角三角形CNS中，可列出关于k的方程．

解答： 解（1）Q切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，∴设切线方程为x+y=a（a≠0），
又∵圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，∴圆心C（-1，2）半径r=

2

，
由已知得

|-1+2-a|

2

=

2

，解得a=-1或a=3，
故所求切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0．
（2）设P（x₁，y₁），∵切线PM⊥CM，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，
∴(x1+1)2+(y1-2)2-2=x12+y12，
化简得2x₁-4y₁+3=0，
所以动点P在直线2x-4y+3=0上，
由已知|PM|_min=|PO|_min=|

2×0-4×0+3

22+42

|=

3 5

10

，
则此时

x12+y12= 9 20 2x1-4y1+3=0

，解得

x1=- 3 10 y1= 3 5

，
∴所求点P（-

3

10

，

3

5

）．
（3）①若直线l的斜率不存在，则l：x=0，此时直线与圆C交于A（0，1），B（0，3），易知点N(0，

5

3

)为AB的三等分点，符合题意；
②若直线l的斜率存在，设l：y-

5

3

=kx，不妨设N(0，

5

3

)为靠近点A的三等分点．取线段AB的中点S，且记弦长AB为L，圆心C到直线l的距离为d
在直角三角形CSN中：CN²=CS²+SN²，即

10

9

=d2+(

L

6

)2；
在直角三角形CSA中：CA²=CS²+SA²，即2=d2+(

L

2

)2⇒9(

10

9

-d2)=2-d2⇒d=1
所以1=

|-k- 1 3 |

k2+1

，可得：k=

4

3

，
直线方程为y-

5

3

=

4

3

x，
即4x-3y+5=0．

点评：这个题重点考查了直线与圆的位置关系，切线问题一般利用半径=弦心距列方程；切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解．