Question

已知各项均不为0的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

S1+2

a1

+

S2+2

a2

+…+

Sn+2

an

=2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=na_n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求和，即可求数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=S₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+3 n+2-[（n-1）²+3（n-1）+2]=2n+2，
所以{a_n}的通项公式为a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n≥2时，2b_n=b_n-1+2n+2，则2ⁿb_n=2^n-1b_n-1+（n+1）2ⁿ，
于是2ⁿb_n-2^n-1b_n-1=（n+1）2ⁿ．…（6分）
当n≥2时，2ⁿb_n=2b₁+（2²b₂-2b₁）+（2³b₃-2²b₂）+…+（2ⁿb_n-2^n-1b_n-1），
即2ⁿb_n=2b₁+3•2²+4•2³+…+（n+1）2ⁿ，①
则2ⁿ⁺¹b_n=4b₁+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-2ⁿb_n=12-2b₁+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）2ⁿ⁺¹
=12-2b₁+2ⁿ⁺¹-8-（n+1）2ⁿ⁺¹=4-2b₁-n•2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2n+

b1-2

2n-1

，…（10分）
当b₁=2时，b_n=2n对所有的n∈N^*都成立．
故当b₁=2时，由题设确定的数列{b_n}为等差数列．…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．