Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC的中点．
（1）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，求证：AD⊥DC₁；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

分析：（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出．
（2）证法一：连接A₁C，交AC₁于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证得A₁B∥OD，进而再利用线面平行的判定定理证得．
证法二：取B₁C₁的中点D₁，连接A₁D₁，DD₁，D₁B，可得四边形BDC₁D₁及D₁A_1AD是平行四边形．进而可得平面A₁BD₁∥平面ADC₁．再利用线面平行的判定定理即可证得结论．

解答：（本小题满分14分）
证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．       
因为平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面BCC₁B₁．                                  …（5分）
因为DC₁?平面BCC₁B₁，所以AD⊥DC₁．                   …（7分）
（2）（证法一） 
连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD，则O为A₁C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD∥A₁B．                     …（11分）
因为OD?平面ADC₁，A₁B∉平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．                                 …（14分）
（证法二） 
取B₁C₁的中点D₁，连接A₁D₁，DD₁，D₁B．则D₁C₁

∥

.

BD．
所以四边形BDC₁D₁是平行四边形．所以D₁B∥C₁D．
因为C₁D?平面ADC₁，D₁B?平面ADC₁，
所以D₁B∥平面ADC₁．
同理可证A₁D₁∥平面ADC₁．
因为A₁D_1?平面A₁BD₁，D₁B?平面A₁BD₁，A₁D₁∩D₁B=D₁，
所以平面A₁BD₁∥平面ADC₁．                          …（11分）
因为A₁B?平面A₁BD₁，所以A₁B∥平面ADC₁．           …（14分）

点评：本题考查了线面垂直和线面平行，充分理解其判定定理和性质定理是解决问题的关键．遇到中点添加辅助线常想到三角形的中位线或平行四边形．