Question

6．已知函数f（x）=|ax-2|+|ax-a|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥2在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≥2的解集．
（2）由题意可得f（x）_min≥2，再根据绝对值三角不等式求得f（x）_min=|a-2|，可得|a-2|≥2，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）=|x-2|+|x-1|，表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，
而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤0.5，或x≥2.5}．
（2）若f（x）≥2在R上恒成立，则f（x）_min≥2．
∵函数f（x）=|ax-2|+|ax-a|≥|（ax-2）-（ax-a）|=|a-2|，故|a-2|≥2，
故有a-2≥2，或a-2≤-2，求得a≥4 或a≤0．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的航成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．