Question

统计某校高三年级100名学生的数学月考成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，已知前4组的频数分别是等比数列{a_n}的前4项，后6组的频数分别是等差数列{b_n}的前6项，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设m、n为该校学生的数学月考成绩，且已知m、n∈[70，80）∪[140，150]，求事件|m-n|＞10”的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标×组据；频数=频率×样本容量，求出等比数列的第2，3项，求出公比，利用等比数列的通项公式求出通项，再利用等比数列的通项公式求出第4项，后6组的频数分别是等差数列{b_n}的前6项，求出等差数列的通项公式求出通项．
（2）求出成绩在[70-80），[140，150]中的人数，然后利用古典概型的概率公式解之即可．
解答：解：（1）由已知：第2组的频数为3，第3组的频数为9，又前4组的频数是等比数列，所以公比3，首项为1
∴a_n=3^n-1，（3分）
又第4组的频数为27，后6组是首项为27，和是87的等差数列，
即b₁=27，S₆=87，则d=-5
所以b_n=-5n+32．（6分）
（2）由（1）知成绩在[70-80）的有3人，成绩在[140，150]中的有2人，
分别记为：a₁，a₂，a₃和b₁，b₂，由|m-n|＞10知，这两人必来自两个不同的组，（8分）
所以事件“|m-n|＞10”的概率为．（13分）
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，以及等可能事件的概率和频率分别直方图，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．