Question

（2009•重庆模拟）已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±x，且它的一条准线与渐近线y=x及x轴围成的三角形的周长是

2

+1．
（I）求以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆C₂的方程；
（II）AB是椭圆C₂的长为

2

的动弦，O为坐标原点，求△OAB的面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意知双曲线焦点在x轴，设双曲线C₁的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，利用双曲线C₁的渐近线方程是y=±x，且它的一条准线与渐近线y=x及x轴围成的三角形的周长是

2

+1，即可求得方程；
（II）分类讨论：（1）当直线AB斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，求得A，B的坐标，可求△OAB的面积；（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m代入

x2

2

+y2=1，进而求出面积的表达式，再研究△OAB的面积S的取值范围即可．

解答：解：（I）由题意知双曲线焦点在x轴，设双曲线C₁的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
则

b a =1 a2 a2+b2 (2+ 2 )= 2  +1

，解得a=b=1
∴双曲线C₁的方程为x²-y²=1，
∴双曲线的两个顶点为（-1，0），（1，0），焦点为（

2

，0），（-

2

，0）
∵椭圆C₂以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点
∴椭圆C₂的两个焦点为（-1，0），（1，0），顶点为（

2

，0），（-

2

，0）
∴椭圆C₂的方程为

x2

2

+y2=1
（II）（1）当直线AB斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，
则A(m，

2

2

)，B(m，-

2

2

)代入

x2

2

+y2=1得m=±1，
∴△OAB的面积S=

2

2

（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m代入

x2

2

+y2=1
得（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-1）=0
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

∴2=|AB|²=（1+k²）(x1-x2)2
∴m2=(1+2k2)-

(1+2k2)2

4(1+k2)

又原点O到AB的距离为

|m|

1+k2

∴S=

1

2

×

2

×

|m|

1+k2

∴S2=

(2k2+3)(2k2+1)

8(k2+1)2

设k²+1=t（t≥1），则S2=

4t2 -1

8t2

=

1

2

-

1

8t2

∵t≥1，∴0＜

1

t2

≤1
∴

3

8

≤

1

2

-

1

8t2

＜

1

2

∴

6

4

≤S＜

2

2

综合（1）（2）可知，△OAB的面积S的取值范围是S∈[

6

4

，

2

2

]．

点评：本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线、椭圆的方程，考查三角形的面积，同时考查分类讨论的数学思想，有一定的综合性