Question

14．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{m}{x}$，m＞0．
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（2）讨论函数g（x）=f（x）-x的单调性；
（3）若m≥1，证明：对于任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1．

Answer 1

分析 （1）求解$f'（x）=\frac{2x-e}{x^2}$，利用导数判断即可；
（2））$g（x）=f（x）-x=2lnx+\frac{m}{x}-x（x＞0）$，求解导数$g'（x）=\frac{2}{x}-\frac{m}{x^2}-1=\frac{{-{x^2}+2x-m}}{x^2}=\frac{{-{{（x-1）}^2}+1-m}}{x^2}$，利用不等式求解即可．
（3）分类讨论0＜m＜1时，当$0＜x＜1-\sqrt{1-m}$时，g'（x）＜0；当$1-\sqrt{1-m}≤x＜1+\sqrt{1-m}$时，g'（x）≥0；当$x≥1+\sqrt{1-m}$时，g'（x）≤0；当m≥1时，g（x）=f（x）-x在（0，+∞）上单调递减，即可的出结论．

解答 解：（1）当m=e时，$f（x）=2lnx+\frac{e}{x}$，$f'（x）=\frac{2x-e}{x^2}$，
当$x＜\frac{e}{2}$时，f'（x）＜0；$x=\frac{e}{2}$时，f'（x）=0；当$x＞\frac{e}{2}$时，f'（x）＞0．
所以，$x=\frac{e}{2}$时，f（x）取得最小值$f（\frac{e}{2}）=2ln\frac{e}{2}+2=4-2ln2$．
（2）$g（x）=f（x）-x=2lnx+\frac{m}{x}-x（x＞0）$，$g'（x）=\frac{2}{x}-\frac{m}{x^2}-1=\frac{{-{x^2}+2x-m}}{x^2}=\frac{{-{{（x-1）}^2}+1-m}}{x^2}$，
1m≥12时，g'（x）≤03，g（x）=f（x）-x4在（0，+∞）5单调递减．
（3）证明：0＜m＜1时，1-m＞0，$1-\sqrt{1-m}＞0$，$g'（x）=\frac{{-（x-1+\sqrt{1-m}）（x-1-\sqrt{1-m}）}}{x^2}$，
当$0＜x＜1-\sqrt{1-m}$时，g'（x）＜0；当$1-\sqrt{1-m}≤x＜1+\sqrt{1-m}$时，g'（x）≥0；
当$x≥1+\sqrt{1-m}$时，g'（x）≤0．
即0＜m＜1时，g（x）=f（x）-x在$（0\;，1-\sqrt{1-m}）$和$[1+\sqrt{1-m}\;，+∞）$上单调递减，
在$[1-\sqrt{1-m}\;，\;1+\sqrt{1-m}）$上单调递增．
由（2）知，当m≥1时，g（x）=f（x）-x在（0，+∞）上单调递减，
所以，当m≥1时，对任意b＞a＞0，f（b）-b＜f（a）-a，
即对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜1$．

点评 本题综合考察了函数不等式，方程的运用，利用导数解决问题的能力，分类讨论解决不等式问题，难度较大．