Question

3．若函数y=（a²-3a+3）•log_ax是对数函数，又函数$f（x）={log_2}（{b^x}-{a^x}）$中f（1）=1，
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义得到关于a的方程，求出a的值，根据f（1）=1求出b的值即可；
（2）根据（1）求出f（x）的解析式，从而求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-3a+3=1\\ a＞0且a≠1\end{array}\right.$；
∴a=2，
又f（1）=1，
∴log₂（b-2）=1，
∴b=4；
（2）$f（x）={log_2}（{4^x}-{2^x}）x∈[1，3]$
=${log_2}[{（{2^x}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}]$，
令$u（x）={（{2^x}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$由于x∈[1，3]，
∴2≤2^x≤8，
∴u（x）在[1，3]上是增加的，
∴当x=1时$u{（x）_{min}}={（2-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}=2$，
∴f（x）_min=log₂2=1．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．