Question

4．在锐角△ABC中，设角A，B，C所对边分别为a，b，c，bsinCcosA-4csinAcosB=0．
（1）求证：tanB=4tanA；
（2）若tan（A+B）=-3，c=3，b=5，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和正弦函数的性质化简已知的等式，由商的关系即可证明；
（2）由题意和两角和的正切公式列出方程，结合（1）和A是锐角求出tanA的值，由同角三角函数的基本关系求出cosA，由余弦定理求出a的值．

解答 证明：（1）由bsinCcosA-4csinAcosB=0得，
bsinCcosA=4csinAcosB，…（1分）
由正弦定理得，sinBsinCcosA=4sinCsinAcosB，
又sinC≠0，则sinB•cosA=4sinA•cosB…（3分）
所以$\frac{sinB}{cosB}=\frac{4sinA}{cosA}$，即tanB=4tanA；
解：（2）因为tan（A+B）=-3，所以$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}=-3$，
由（1）得，$\frac{5tanA}{1-4ta{n}^{2}A}=-3$，
解得tanA=$\frac{3}{4}$或tanA=$-\frac{1}{3}$，
又A为锐角，则$tanA=\frac{3}{4}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinA}{cosA}=\frac{3}{4}}\\{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1}\end{array}\right.$，解得$cosA=\frac{4}{5}$…（9分）
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA
=$25+9-2×5×3×\frac{4}{5}=10$，
即$a=\sqrt{10}$…（10分）

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函数的基本关系，以及两角和的正切公式等，注意内角的范围，考查化简、变形能力，属于中档题．