Question

19．已知λ=${∫}_{0}^{3}$x²dx，数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，则$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 利用定积分求出λ=9，由q＞0，且$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{4}+9{a}_{2}}{{a}_{3}}$=q+$\frac{9}{q}$，利用均值定理能求出$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$的最小值．

解答 解：∵λ=${∫}_{0}^{3}$x²dx=（$\frac{1}{3}{x}^{3}$）${|}_{0}^{3}$=9，
数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，
∴q＞0，且$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{4}+9{a}_{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}+9{{a}_{1}q}^{\;}}{{a}_{1}{q}^{2}}$=$\frac{{q}^{2}+9}{q}$=q+$\frac{9}{q}$≥2$\sqrt{q•\frac{9}{q}}$=6．
当且仅当q=$\frac{9}{q}$，即q=3时，$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$取最小值为6．
故选：D．

点评 本题考查等比数列中代数式和的最小值的求法，涉及到定积分、等比数列、均值定值，是中档题．