Question

数列{a_n}满足a_n＞0（n∈N^*），S_n为数列{a_n}前n项和，并且满足S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．求
（1）S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a₁，a₂，a₃．即可求得S₁，S₂，S₃的值．
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式：Sn=

n

，（n∈N^*），检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（1）易求得a₁=1，a₂=

2

-1，a₃=

3

-

2

，
S₁=1，S₂=

2

，S₃=

3

（3分）；
（2）猜想Sn=

n

（5分）
证明：S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．S_n-1=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）．可得an=

n

-

n-1

，
①当n=1时，a₁=

1

=1，猜想成立  
②假设n=k时，Sk=

k

成立，（8分）
则n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

+ak+1=

k

+

k+1

-

k

=

k+1

．
即n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，n∈N^*时，Sn=

n

．（12分）

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．