【题目】若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时,的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做函数的等域区间.
(1)已知是上的正函数,求的等域区间;
(2)试探求是否存在,使得函数是上的正函数?若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】分析:(1)是[0,+∞)上的正函数,然后根据正函数的定义建立方程组,解之可求出f(x)的等域区间;
(2)根据函数g(x)=x2+m是(-∞,0)上的正函数建立方程组,消去b,求出a的取值范围,转化成关于a的方程在上有解即可.
详解:(1)在[0,+∞)上单调递增,
所以当x∈[a,b]时,
即
解得a=0,b=1,
故函数f(x)的“等域区间”为[0,1];
(2)假设存在,使得函数是上的正函数,且此时函数在上单调递减,
存在使得: (*)
两式相减得,
代入上式:即关于的方程 在上有解,
方法①参变分离:即,
令,所以
实数的取值范围为 ,
方法②实根分布:令,即函数的图像在内与轴有交点,
,解得,
方法③ :(*)式等价于方程在上有两个不相等的实根 ,
, .
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【题目】已知数据是上海普通职工n个人的年收入,设n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入 , 则这n+1个数据中,下列说法正确的是 ( )
A.年收入平均数大大增加,中位数一定变大,方差可能不变
B.年收入平均数大大增加,中位数可能不变,方差变大
C.年收入平均数大大增加,中位数可能不变,方差也不变
D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,圆的参数方程为 (φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为 .
(1)将圆的参数方程化为普通方程,在化为极坐标方程;
(2)若点P在直线l上,当点P到圆的距离最小时,求点P的极坐标.
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【题目】已知三棱锥 ,底面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形, , ,二面角 的大小为 .
(1)求直线 与平面 所成角的大小;
(2)求二面角 的正切值.
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【题目】某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设分数x的分布频率是f(x)且f(x)= ,考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.用分层抽样的方法,现在从成绩在1分,2分及3分的人中用分层抽样随机抽出6人,再从这6人中抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值,并估计班级的考试平均分数;
(2)求P(ξ=7);
(3)求ξ的分布列和数学期望.
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【题目】已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2.
(Ⅰ)证明:不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点;
(Ⅱ)以α为参数,求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程,并判断该轨迹的曲线类型.
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