Question

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=

3

2

accosB．
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且

π

4

≤A≤

π

3

，求边c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小．
（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：由已知及三角形面积公式得S=

1

2

acsinB=

3

2

accosB，
 化简得sinB=

3

cosB，
即tanB=

3

，又0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，
又∵A+B=

2π

3

，
∴sin（

2π

3

-A）=2sinA，
化简可得tanA=

3

3

，而0＜A＜

2π

3

，
∴A=

π

6

，C=

π

2

．
解法2：由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB=a²+4a²-2a²=3a²，
∴b=

3

a，
∴a：b：c=1：

3

：2，知A=

π

6

，C=

π

2

．
（2）由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
即c=

asinC

sinA

=

2sinC

sinA

，
由C=

2π

3

-A，得c=

2sin( 2π 3 -A)

sinA

=

2×( 3 2 cosA+ 1 2 sinA)

sinA

=

3 cosA+sinA

sinA

=

3

tanA

+1
又由

π

4

≤A≤

π

3

，
知1≤tanA≤

3

，
故c∈[2，

3

+1]．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理．