Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x2+

y2

2

=1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，可得c=2，利用与椭圆x2+

y2

2

=1有相同的离心率，可求得a=2

2

，进而可得b=2，故可求椭圆的标准方程．
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程与椭圆方程联立

y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1

可得（1+2k²）x²+4kx-6=0，利用韦达定理有x₁+x₂=

-4k

1+2k2

，x₁x₂=

-6

1+2k2

，要使右焦点F在圆内部，则有

AF

•

BF

＜0，用坐标表示可得不等式，从而可求出k的范围．

解答：解：（1）∵焦距为4，∴c=2…（1分）
又∵x2+

y2

2

=1的离心率为

2

2

…（2分）
∴e=

c

a

=

2

a

=

2

2

，∴a=2

2

，b=2…（4分）
∴标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1…（6分）
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+4kx-6=0…（7分）
∴x₁+x₂=

-4k

1+2k2

，x₁x₂=

-6

1+2k2

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴

AF

•

BF

＜0…（8分）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…（9分）
∴(1+k2)•

-6

1+2k2

+(k-2)•

-4k

1+2k2

+5=

8k-1

1+2k2

＜0…（11分）
∴k＜

1

8

…（12分）
经检验得k＜

1

8

时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，

1

8

）…（13分）

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量与解析几何的连续，由较强的综合性，解题的关键是将右焦点F在圆内部，转化为

AF

•

BF

＜0