Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，
（1）当c=3时，不等式f（x）＜0的解集为（1，3），求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＜0的解集为（1，3），且f（x）＞a³-4a在区间[a，a+1]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次不等式的解集是（1，3），得到1，3是对应方程f（x）=0的两个根，根据根与系数之间的关系求a，b即可．
（2）利用不等式f（x）＜0的解集为（1，3），得到1，3是对应方程f（x）=0的两个根，根据根与系数之间的关系求a，b，c的关系，利用f（x）＞a³-4a在区间[a，a+1]上恒成立a的取值范围．

解答：解：（1）当c=3时，f（x）=ax²+bx+3，因为元二次不等式的解集是（1，3），则1，3是对应方程f（x）=0的两个根，且a＞0，
所以据根与系数之间的关系得

1+3=- b a 1×3= 3 a

，解得a=1，b=-4，所以f（x）=x²-4x+3．
（2）若不等式f（x）＜0的解集为（1，3），则1，3是对应方程f（x）=0的两个根，且a＞0，
所以据根与系数之间的关系得

1+3=- b a 1×3= c a

，即c=3a，b=-4a．
由f（x）＞a³-4a得ax²+bx+c＞a³-4a，即ax²-4ax+3a＞a³-4a，因为a＞0，
所以不等式等价为x²-4x+3＞a²-4，即x²-4x+7-a²＞0在区间[a，a+1]上恒成立，
设f（x）=x²-4x+7-a²=（x-2）²+3-a²，对称轴为x=2．
①若a+1≤2，即0＜a≤1时，函数在[a，a+1]上单调递减，此时当x=a+1时函数值最小，所以f（a+1）=4-2a，由4-2a＞0，得a＜2，此时0＜a≤1．
②若a≤2≤a+1，即1≤a≤2时，当x=2时，函数值最小，所以f（2）=3-a²，由3-a²＞0，得-

3

＜a＜

3

，此时1≤a≤

3

．
③若a+1＞2时，即a＞1时，函数在[a，a+1]上单调递增，此时当x=a时函数值最小，所以f（a）=a²-4a+7-a²=7-4a，由7-4a＞0，得a＜

7

4

，此时1＜a＜

7

4

．
综上实数a的取值范围是0＜a＜

7

4

．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法和一元二次函数的图象和性质，综合性较强，注意进行分类讨论．