Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA=AD=2．AB=1．
（Ⅰ）求证：PD∥平面AMC；
（Ⅱ）求三棱锥A-MBC的高．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，连接OM
∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点
∵M是BP的中点，∴OM∥PD
∵OM?平面AMC，PD?平面AMC
∴PD∥平面AMC；
（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PAB，AD∥BC
∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD
∵PA⊥AB，AD∩AB=A
∴PA⊥平面ABCD
取AB中点F，连接MF，则MF∥PA
∴MF⊥平面ABCD，且MF=PA=1
设三棱锥A-MBC的高为h，由V_A-MBC=V_M-ABC，可得h===．
分析：（Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OM，利用三角形中位线性质，证明OM∥PD，即可证明PD∥平面AMC；
（Ⅱ）先证明PA⊥平面ABCD，再利用等体积法，即可求三棱锥A-MBC的高．
点评：本题考查线面平行，考查三棱锥高的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．