Question

已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集∅；命题q：函数f（x）=ax²+ax+1没有零点，若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：对于命题p：x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集，△=b²-4ac=（a-1）²-4＜0，解得-1＜a＜3；对于命题q：f（x）=ax²+ax+1没有零点等价于方程ax²+ax+1=0没有实数根，由此进行分类讨论，能求出a的取值范围．

解答：解：对于命题p：∵x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集
∴△=b²-4ac=（a-1）²-4＜0，解得-1＜a＜3（4分）
对于命题q：f（x）=ax²+ax+1没有零点等价于方程ax²+ax+1=0没有实数根
①当a=0时，方程无实根符合题意
②当a≠0时，△=a²-4a＜0解得0＜a＜4
∴0≤a＜4（8分）
由命题p∧q为假命题，p∨q为真命题可知，命题p与命题q有且只有一个为真
如图所示

所以a的取值范围为（-1，0）∪[3，4）（12分）

点评：本题考查复合命题真假判断的应用，解题时要注意不等式知识的灵活运用，合理地进行数形结合思想进行解题．