Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，b_n≠0
（1）求证数列{}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=，T_n为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜2．

Answer 1

（1）证明：∵b_n=a_n-1，b_n≠0
∴a_n=b_n+1
又2a_n=1+a_na_n+1，
∴2（1+b_n）=1+（b_n+1）（b_n+1+1）
化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1…（2分）
∵b_n≠0
∴
∴
∵
∴是以1为首项，1为公差的等差数列．…（4分）
∴
∴
∴…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C_n=．
∴T_n=①，
T_n=②…（9分）
①-②得：T_n===…（11分）
∴T_n=2-＜2（12分）
分析：（1）由题意可得a_n=b_n+1，结合2a_n=1+a_na_n+1，代入化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，从而可得，可证是以1为首项，1为公差的等差数列，由等差数列的通项可求，进而可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C_n=，利用错位相减可求数列的和
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握