Question

8．证明f（x）=x+$\frac{2}{x}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析 任取x₁，x₂∈[$\sqrt{2}$，+∞），且x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据增函数的定义，只需说明f（x₁）＜f（x₂）即可

解答 解：证明：任取x₁，x₂∈[$\sqrt{2}$，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）（x₁$+\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂$+\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
因为$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞2，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+$\frac{2}{x}$在[$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数．

点评 本题考查函数单调性的证明，属基础题，单调性的证明方法主要有：定义法；导数法，要熟练掌握．