Question

19．已知函数f（x）=x²-2alnx，a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数f（x）在区间（e，e²]上既有最大值又有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）由题意结合函数的单调性得到不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=$\frac{2（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{x}$，（x＞0，a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增；函数有极小值，
∴f（x）_极小值=f（$\sqrt{a}$）=a-2alna；
（2）若函数f（x）在（e，e²]上单调，则函数没有最大值或最小值，不合题意，
结合（1）得：函数f（x）在（e，e²]上先递减再递增，
∴e＜$\sqrt{a}$＜e²，且f（e）≤f（e²），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e＜\sqrt{a}{＜e}^{2}}\\{{e}^{2}-2alne{≤e}^{4}-2al{ne}^{2}}\end{array}\right.$，解得：e²＜a≤$\frac{{e}^{4}{-e}^{2}}{2}$．

点评 本题考察了函数的单调性、极值问题，考察导数的应用，第二问确定函数的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．