Question

14．不等式$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$＞1-log₂x的解集为（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （1，8）
• C． （2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 先根据对数函数和二次根式，求出x的范围，再根据1-log₂x与0的关系分类分别解出它们，再求并集，即可得到解集．

解答 解：$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$＞1-log₂x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+lo{g}_{2}x≥0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，
解得x≥$\frac{1}{2}$，
若1-log₂x≤0，
即x≥2时，
不等式式恒成立，
若1-log₂x＞0，
即$\frac{1}{2}$≤x＜2
对于$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$＞1-log₂x，两边平方，得，
1+log₂x＞1-2log₂x+log₂²x，
即3log₂x+log₂²x＜0，
即log₂x（log₂x-3）＜0，
∴0＜log₂x＜3，
∴log₂1＜log₂x＜log₂8，
∴1＜x＜8，
∴1＜x＜2，
综上所述x＞1，
故选：D．

点评 本题考查不等式的解法，考查对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题