Question

4．对于函数f（x）=e^ax-lnx，（a是实常数），下列结论正确的一个是（　　）

• A． a=1时，B有极大值，且极大值点（1，3）
• B． a=2时，A有极小值，且极小值点x₀∈（0，$\frac{1}{4}$）
• C． a=$\frac{1}{2}$时，D有极小值，且极小值点x₀∈（1，2）
• D． a＜0时，C有极大值，且极大值点x₀∈（-∞，0）

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数极值存在的条件，以及函数零点的判断条件，判断f′（x）=0根的区间即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=e^ax-lnx，
∴函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=ae^ax-$\frac{1}{x}$，若a=$\frac{1}{2}$，f（x）=${e}^{\frac{1}{2}x}$-lnx，
则f′（x）=${e}^{\frac{1}{2}x}-lnx$，
则f'（x）=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上单调递增，
f′（1）=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}}-1=\frac{1}{2}\sqrt{e}-1＜0$，f′（2）═$\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}（e-1）＞0$
∴函数f（x）存在极小值，且f′（x）=0的根在区间（1，2）内，
故选：C

点评 本题主要考查函数零点的判断以及函数极值的求解，利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．