Question

14．已知正项数列{a_n}的前n项的和为S_n，满足4S_n=（a_n+1）²．
（Ⅰ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$（n∈N^*），求证：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列递推式求出数列首项，取n=n+1得另一递推式，作差后可得{a_n}是等差数列，由等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a_n}通项公式代入b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，由裂项相消法求和后即可证明b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 （Ⅰ）解：由4S_n=（a_n+1）²，
令n=1，得$4{S}_{1}={4a}_{1}=（{a}_{1}+1）^{2}$，即a₁=1，
又4S_n+1=（a_n+1+1）²，
∴$4{a}_{n+1}=（{a}_{n+1}+1）^{2}-（{a}_{n}+1）^{2}$，整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，则{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
则b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．