Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{|{x+1}|+|{x-m}|-5}$（m＞0）的定义域为R
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈R，且a+b+m=4，a²+b²+m²=16，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得|x+1|+|x-m|≥5恒成立，故|（x+1）-（x-m）|≥5，由此求得实数m的取值范围．
（Ⅱ）根据a，b∈R，且a+b+m=4，a²+b²+m²=16，且m≤-6 或m≥4，求得实数m的值．

解答 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=$\sqrt{|{x+1}|+|{x-m}|-5}$（m＞0）的定义域为R，
∴|x+1|+|x-m|≥5恒成立，故|（x+1）-（x-m）|=|1+m|≥5，
∴m+1≤-5或 m+1≥5，求得 m≤-6 或m≥4，
故实数m的取值范围为（-∞，-6]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）若a，b∈R，且a+b+m=4，a²+b²+m²=16，再由（Ⅰ）可得m≤-6 或m≥4，
∴实数m=4．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，属于中档题．