Question

13．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0
（Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求${sin^2}A+sin（C-\frac{π}{6}）$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，整理求得cosB，进而求得B．
（Ⅱ）把${sin^2}A+sin（C-\frac{π}{6}）$转化为cosA的解析式，进而根据cosA的范围确定答案．

解答 解：（Ⅰ）∵（2c-a）cosB-bcosA=0，
由正弦定理得（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
则2sinCcosB-sin（A+B）=0，
求得cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即49=（a+c）²-2ac-2accosB，求得ac=40，
∴三角形△ABC面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=10$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）${sin^2}A+sin（C-\frac{π}{6}）$=sin²A+sin（$\frac{2π}{3}$-A-$\frac{π}{6}$）=sin²A+sin（$\frac{π}{2}$-A）=-cos²A+cosA+1，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
令u=cosA∈（-$\frac{1}{2}$，1）
y=-u²+u+1∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题主要考查了余弦定理和增弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理对边角问题进行转化．