Question

8．已知二次函数f（x）=ax²-4bx+1（a≠0）．
（1）若a=1，b∈[-1，1]，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-8≤0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，内的随机点，求函数y=f（x）在[1，+∞）上的增函数的概率．

Answer 1

分析 （1）求出函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的b 的范围，利用区域长度比求概率；
（2）画出区域，求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率．

解答 解：函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，则a＞0且$\frac{2b}{a}≤1$，即a＞0且a≥2b；
（1）因为a=1，则$b≤\frac{1}{2}$时，函数f（x）为增函数
所以函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率$p=\frac{{\frac{1}{2}-（{-1}）}}{{1-（{-1}）}}=\frac{3}{4}$；
（2）由（1）知当且仅当a≥2b，且a＞0时，函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知实验的全部结果所构成的区域为不等式组所表示的平面区域．
构成所求事件的区域为图中的阴影部分．
由$\left\{\begin{array}{l}a+b-8=0\\ b=\frac{a}{2}\end{array}\right.$，得交点的坐标为$（{\frac{16}{3}，\frac{8}{3}}）$，故所求事件的概率为$p=\frac{{\frac{1}{2}×8×\frac{8}{3}}}{{\frac{1}{2}×8×8}}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了几何概型公式的运用；关键是明确满足条件的a，b的范围，找出集合测度（区域长度，面积或者体积），利用概率公式解答．