Question

7．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
（I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值；
（II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．若∠AOP=2θ，$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$表示|$\overrightarrow{OQ}$|，并求|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值．

Answer 1

分析 （I）直接利用三角函数的定义求出正弦函数以及余弦函数值，即可cosα+sinα的值；
（II）设Pcos2θ，sin2θ，点Q满足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．表示出表示|$\overrightarrow{OQ}$|，然后通过三角函数的值域求|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值．

解答 （本小题13分）
解：（Ⅰ）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
可得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$-\frac{3}{5}$，∴cosα+sinα=$-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$．
（Ⅱ）因为P（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$=（1+cos2θ，sin2θ），
所以$\left|\overrightarrow{OQ}\right|$=$\sqrt{（1+cos2θ）^{2}+{sin}^{2}2θ}$=$\sqrt{2+2cos2θ}$=2|cosθ|，因为$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$，
所以$\left|\overrightarrow{OQ}\right|$=2|cosθ|∈$[0，\sqrt{3}]$，
|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．