Question

16．已知点A（3，2）和B（-1，5）．
（1）直线L₁：y=mx+2过线段AB的中点，求m；
（2）若点C在直线L₁ 上，△ABC的面积为10，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出相等中点，代入直线方程求m；
（2）设C（x，y），利用点C在直线L₁ 上，△ABC的面积为10，得到关于x，y的方程解之．

解答 解：（1）AB的中点坐标为（1，$\frac{7}{2}$），此点在直线L₁：y=mx+2上，所以3.5=m+2，解得m=1.5；
（2）由（1）得L₁：y=1.5x+2，即3x-2y+4=0，
设点C到直线AB的距离为d，
由题意知：|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}$=5…（2分）
S△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×5×d=10，
∴d=4…（4分）
直线AB的方程为：$\frac{y-2}{5-2}=\frac{x-3}{-1-3}$，即3x+4y-17=0…（6分）
∵C点在直线3x-2y+4=0①上，设C（x，y）
∴d=$\frac{|3x+4y-17|}{5}$=4，②…（10分）
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{29}{9}}\\{y=\frac{41}{6}}\end{array}\right.$或者$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{11}{9}}\\{y=\frac{1}{6}}\end{array}\right.$
∴C点的坐标为：（$\frac{29}{9}，\frac{41}{6}$）或（$-\frac{11}{9}，\frac{1}{6}$）…（12分）

点评 本题考查三角形的面积公式、中点公式，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．