Question

4．已知函数f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值的x值．

Answer 1

分析 （1）由对数函数的定义，可得2x+3-x²＞0，解不等式即可得到定义域；令t=2x+3-x²，则y=log₄t，由复合函数的单调性：同增异减，即可得到单调区间；
（2）由（1）的单调区间，可得当x=1时，函数取得最大值．

解答 解：（1）由函数f（x）=log₄（2x+3-x²），
可得2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3，
即有定义域为（-1，3）；
令t=2x+3-x²，则y=log₄t，
由t=2x+3-x²在（-1，1）递增，在（1，3）递减，
由y=log₄t递增，
则函数f（x）的增区间为（-1，1），减区间为（1，3）；
（2）由函数f（x）的增区间为（-1，1），减区间为（1，3），
可得x=1时，函数f（x）取得最大值，且为f（1）=log₄4=1．

点评 本题主要考查复合函数的单调性：同增异减，同时对数函数和二次函数的单调性，属于中档题．