Question

14．如图，已知 AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（I）求证：AC⊥平面BCE；
（II）求三棱锥E-BCF的体积．

Answer 1

分析 （I）过C作CM⊥AB，垂足为M，利用勾股定理证明AC⊥BC，利用EB⊥平面ABCD，证明AC⊥EB，即可证明AC⊥平面BCE；
（II）证明CM⊥平面ABEF，利用V_E-BCF=V_C-BEF，即可求三棱锥E-BCF的体积．

解答 （I）证明：过C作CM⊥AB，垂足为M，
∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，
∴AM=MB=2，
∵AD=2，AB=4，
∴AC=2$\sqrt{2}$，CM=2，BC=2$\sqrt{2}$
∴AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，
∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
∴EB⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴AC⊥EB，
∵EB∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE；
（II）解：∵AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥CM，
∴CM⊥AB，AB∩AF=A，
∴CM⊥平面ABEF，
∴V_E-BCF=V_C-BEF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BE×EF×CM$=$\frac{1}{6}×2×4×2$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，三棱锥体积的计算，解答的关键是正确运用线面垂直的判定．