Question

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2，tanB=2$\sqrt{2}$，b=3．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由tanB=2$\sqrt{2}$得cosB，由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2得accosB=2，解得ac，由余弦定理及a＞c，即可解得a，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求sinB，由正弦定理可求sinC，cosC，利用两角差的余弦函数公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由tanB=2$\sqrt{2}$得：cosB=$\frac{1}{\sqrt{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{1}{3}$，
由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2得accosB=2，所以ac=6，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²-$\frac{2}{3}$ac=9，
∵a＞c，
∴a=3，c=2．
（Ⅱ）∵sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cosC=$\frac{7}{9}$，
∴cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=$\frac{23}{27}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角差的余弦函数公式，平面向量数量积的运算，属于基本知识的考查．