Question

9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（$\sqrt{3}$，0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过椭圆左顶点A的直线l交椭圆于另一点B，且AB中点横坐标为$-\frac{8}{5}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合a，b，c的关系，解得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l：y=k（x+2），代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，即可得到k，进而得到直线l的方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）A（-2，0），设直线l：y=k（x+2），
代入椭圆方程可得，（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
则-2+x_B=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
由AB中点横坐标为$-\frac{8}{5}$，可得-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{16}{5}$，
解得k=±1，
检验判别式（16k²）²-4（1+4k²）（16k²-4）=16＞0，成立．
则有直线l的方程为y=x+2或y=-x-2．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，属于中档题．