Question

8．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个交点发射的光线，经椭圆反射后，反射光先经过椭圆的另一个交点，现设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，点A和B是它们的两个交点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2或18或20．

Answer 1

分析 根据椭圆的光学性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是18；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．

解答 解：依题意可知$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中，a=5，b=3，c=4，设A，B分别为左、右焦点，
则当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2；
射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是18；
小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×5=20．
故答案为：2或18或20．

点评 本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义．