Question

13．已知数列 {a_n}{b_n}满足 a₁=b₁=1，a_n+1-a_n=$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，n∈N^*，则数列 {b${\;}_{{a}_{n}}$}的前10项和为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$（4¹⁰-1）
• B． $\frac{4}{3}$（4¹⁰-1）
• C． $\frac{1}{3}$（4⁹-1）
• D． $\frac{4}{3}$（4⁹-1）

Answer 1

分析 根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a_n}与{b_n}的通项公式，进而表达出{ban}的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．

解答 解：由a_n+1-a_n=$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，
所以数列{a_n}是等差数列，且公差是2，{b_n}是等比数列，且公比是2．
又因为a₁=1，所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
所以b${\;}_{{a}_{n}}$=b_2n-1=b₁•2^2n-2=2^2n-2．
设c_n=b${\;}_{{a}_{n}}$，所以c_n=2^2n-2，
所以$\frac{{c}_{n}}{{c}_{n-1}}$=4，所以数列{c_n}是等比数列，且公比为4，首项为1．
由等比数列的前n项和的公式得：
其前10项的和为$\frac{1-{4}^{10}}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4¹⁰-1）．
故选A．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．