Question

18．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期是π，其图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$，又锐角三角形ABC中，满足f（C）=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若tanA-$\frac{1}{sin2A}$=tanB，求角A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的周期性以及对称性，求出ω，φ，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据三角函数的倍角公式将等式进行化简，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知，$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2-----------------------------（1分）
∵其图象的一条对称轴是直线$x=\frac{π}{8}$，
∴$f（{\frac{π}{8}}）=±1∴\frac{π}{4}+ϕ=kπ+\frac{π}{2}⇒ϕ=kπ+\frac{π}{4}$-----（3分）
∵-π＜ϕ＜0，∴$ϕ=-\frac{3π}{4}$-------（4分）       
故$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$-------（5分）
（法二：因为其图象的一条对称轴是直线$x=\frac{π}{8}$，
∴$f（0）=f（{\frac{π}{4}}）$，
得$sinφ=sin（{\frac{π}{2}+φ}）=cosφ$，得tanφ=1．
（Ⅱ）$f（C）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得$sin（{2C-\frac{3π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵$C∈（{0，\frac{π}{2}}）∴2C-\frac{3π}{4}∈（{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}}）$，
∴$2C-\frac{3π}{4}=-\frac{π}{4}∴C=\frac{π}{4}$------------（7分）
∴$A+B=\frac{3π}{4}$-----------------------------①
由$tanA-\frac{1}{sin2A}=tanB$得$\frac{sinA}{cosA}-\frac{1}{2sinAcosA}=\frac{sinB}{cosB}$
得$\frac{{2{{sin}^2}A-1}}{2sinAcosA}=\frac{sinB}{cosB}$得$-\frac{cos2A}{sin2A}=\frac{sinB}{cosB}$------------------------------（9分）
得cos2AcosB+sin2AsinB=0得cos（2A-B）=0----------------------（10分）
∴$2A-B=kπ+\frac{π}{2}$$2A=kπ+\frac{π}{2}+B$，
∵A，B都是锐角∴$2A=\frac{π}{2}+B$------②
解①②得A=$\frac{5π}{12}$---------------------------------------------（12分）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出ω 和φ的值是解决本题的关键．