Question

8．若实数a，b满足ab＞0，且a²b=4，若a+b≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出a＞0，b＞0，根据基本不等式求出m的最大值即可；（Ⅱ）问题转化为2|x-1|+|x|≤3，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由题设可得b=$\frac{4}{a^2}$＞0，∴a＞0，
∴a+b=a+$\frac{4}{a^2}$=$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}$≥3，
当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，
∴m的最大值为3；
（Ⅱ）要使2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，
须且只须2|x-1|+|x|≤3，
①x≥1时，2x-2+x≤3，解得：1≤x≤$\frac{5}{3}$，
②0≤x＜1时，2-2x+x≤3，解得：0≤x＜1，
③x＜0时，2-2x-x≤3，解得：x≥-$\frac{1}{3}$，
∴实数x的取值范围是-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{5}{3}$．

点评 本题考察了基本不等式的性质问题，考察解不等式问题，求出a+b的最小值是解题的关键，本题是一道中档题．