Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+$\frac{11}{2}$n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1}{{（2{a_n}-11）（2{a_n}-9）}}$，数列{c_n}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞$\frac{k}{2015}$对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；
（3）设f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n=2k-1，k∈{N^*}）\\ 3{a_n}-13（n=2k，k∈{N^*}）\end{array}$，是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）清楚首项，然后利用a_n=S_n-S_n-1当其数列的通项公式．
（2）化简c_n=$\frac{1}{{（2{a_n}-11）（2{a_n}-9）}}$，利用裂项求和，判断数列的单调性，求解最值即可．
（3）化简函数的解析式，通过当m为奇数时，当m为偶数时，分别求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）当n=1时，a₁=S₁=6，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n）-[\frac{1}{2}{（n-1）^2}+\frac{11}{2}（n-1）]=n+5$
而当n=1时，n+5=6，∴a_n=n+5（n∈N^*）．（4分）
（2）${c_n}=\frac{1}{{（2{a_n}-11）（2{a_n}-9）}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{n}{2n+1}$．
∵${T}_{n}{-T}_{n-1}=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}＞0$，∴T_n单调递增，${（{T_n}）_{min}}={T_1}=\frac{1}{3}$．
令$\frac{1}{3}＞\frac{k}{2015}$，得$k＜671\frac{2}{3}$，所以k _max=671．（8分）
（3）$f（n）=\left\{\begin{array}{l}n+5（n=2k-1，k∈{N^*}）\\ 3n+2（n=2k，k∈{N^*}）\end{array}\right.$
当m为奇数时，m+15为偶数，∴3m+47=5m+25，m=11．
当m为偶数时，m+15为奇数，∴m+20=15m+10，$m=\frac{5}{7}∉N*$（舍去）
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．（12分）

点评 本题考查是的函数的特征，数列与函数相结合，考查数列通项公式的求法，数列求和方法，以及不等式的知识，考查计算能力．