Question

1．给出以下命题
①数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n+1，
则{a_n}是等差数列；
②直线l的方程是x+2y-1=0，则它的方向向量是（2，-1）；
③向量$\overrightarrow m$=（{1，1}），$\overrightarrow n$=（{0，-1}），则$\overrightarrow m$在$\overrightarrow n$方向上的投影是1；
④三角形ABC中，若sinA=$\frac{1}{2}$，则A=$\frac{π}{6}$；以上正确命题的个数是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 ①根据所给的数列的前n项和，仿写一个前n-1项的和，两个式子相减，得到数列的第n项的表示式，是一个等差数列，验证首项不符合题意．
②利用直线的平行向量与斜率的关系即可得出．
③根据投影的定义，应用公式|$|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$求解．
④在△ABC中，正弦值对应的角度值由2个，用此判断．

解答 解：对于①∵数列{a_n}的前几项和S_n=n²+n+1，①
∴S_n-1=（n-1）²+（n-1）+1，n＞1，②
①-②a_n=2n，（n＞1）当n=1时，a₁=3，∴数列是一个从第二项起的等差数列，故①错．
对于②∵直线x+2y+1=0的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴平行向量（2，-1），所以②正确．
对于③∵$\overrightarrow{m}=（1，1），\overrightarrow{n}=（0，-1）$∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=-1$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{2|\overrightarrow{n}|}=\frac{-1}{2}$．所以③错．
对于④在△ABC中，sinA=$\frac{1}{2}$，∴A=30°或A=150°．故④错．
故选：C

点评 本题主要考查数列的通项公式、直线得方向向量、向量的投影、三角形内角大小等知识点，属于中档题型．