Question

6．△ABC外接圆的圆心为O，且$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{5}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，则cos∠BAC=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，设BC中点M，得到$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$，结合已知，得到∠BOM=∠BAC．

解答 解：设BC边中点为M，则$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$，由题设$\overrightarrow{AO}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AM}$，
∴A、O、M共线，且AO=4OM，而∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，
即cos∠BAC=$\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{OA}=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了向量共线性质的运用；关键是明确A，O与BC中点三点共线，得到∠BOM=∠BAC．