Question

11．给定可导函数y=f（x），如果存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^{b}f（x）dx}{b-a}$成立，则称x₀为函数f（x）在区间[a，b]上的“平均值点”．
（1）函数f（x）=x³-3x在区间[-2，2]上的平均值点为$±\sqrt{3}$，0；
（2）如果函数g（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx在区间[-1，1]上有两个“平均值点”，则实数m的取值范围是[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]．

Answer 1

分析 （1）首先由新定义求出f（x₀），然后代入解析式求出x₀；
（2）求出g（x）=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g（x）dx}{2}$，然后解使方程g（x）=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g（x）dx}{2}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx有两个解的m范围．

解答 解：（1）因为f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^{b}f（x）dx}{b-a}$=$\frac{{∫}_{-2}^{2}（{x}^{3}-3x）dx}{4}=\frac{1}{4}×（\frac{1}{4}{x}^{4}-\frac{3}{2}{x}^{2}）{|}_{-2}^{2}$=0，
而f（x₀）=0为x₀³-3x₀=0解得x₀=$±\sqrt{3}$，0；
（2）如果函数g（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx在区间[-1，1]上有两个“平均值点”，即g（x）=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g（x）dx}{2}$的x值有两个，$\frac{{∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}+mx）dx}{2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{π}{2}+\frac{m}{2}{x}^{2}{|}_{-1}^{1}$=$\frac{π}{4}$，
即$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx=$\frac{π}{4}$由两个解，所以m的取值范围为[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]．
故答案为：$±\sqrt{3}$，0；[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查定积分的运算和由方程解的个数求参数范围，属于中档题