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    1．已知椭圆C1：$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，且经过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．
    （Ⅰ）过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，求直线l1，l2的交点Q的轨迹方程；
    （Ⅱ）从圆O：x2+y2=5上任意一点P作椭圆C1的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．

    分析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，以及$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，设椭圆方程为$\frac{y^2}{{3{c^2}}}+\frac{x^2}{{2{c^2}}}=1$，将点$（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$的坐标代入得c，然后求解椭圆方程，求出抛物线方程，设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2-4kx-4=0，利用韦达定理结合函数的导数求解直线的斜率，直线方程，求出点Q的横坐标是$\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，点Q的纵坐标，然后求解点Q的轨迹方程．
    （Ⅱ）①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，求解∠APB的大小为定值．
    ②当两条切线的斜率都存在时，即$x≠±\sqrt{2}$时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，则切线方程与椭圆方程联立，利用△=0，切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，通过${k_1}{k_2}=-\frac{y_0^2-3}{2-x_0^2}$，求解∠APB的大小为定值$\frac{π}{2}$．

    解答 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即$a=\sqrt{3}c$，则$b=\sqrt{2}c$，
    椭圆方程为$\frac{y^2}{{3{c^2}}}+\frac{x^2}{{2{c^2}}}=1$，将点$（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$的坐标代入得c2=1，
    故所求的椭圆方程为$\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{2}=1$焦点坐标为（0，±1），
    故抛物线方程为x2=4y…（2分）
    设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2-4kx-4=0，
    则x1+x2=4k，x1x2=-4，由于$y=\frac{1}{4}{x^2}$，所以$y'=\frac{1}{2}x$，故直线l1的斜率为$\frac{1}{2}{x_1}$，l1的方程为$y-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_1}（x-{x_1}）$，即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2$，
    同理l2的方程为$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$，
    令$\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$，即$（{x_1}-{x_2}）x=\frac{1}{2}（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）$，显然x1≠x2，
    故$x=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，即点Q的横坐标是$\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，
    点Q的纵坐标是$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{4}{x_1}（{x_1}+{x_2}）-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{4}{x_1}{x_2}=-1$，即点Q（2k，-1），
    故点Q的轨迹方程是y=-1…（4分）
    （Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，
    则此时P点横坐标为$\sqrt{2}$，代入圆的方程得P点的纵坐标为$\sqrt{3}$，
    此时两条切线方程分别为$x=\sqrt{2}，y=\sqrt{3}$，此时$∠APB=\frac{π}{2}$，
    若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是$\frac{π}{2}$…（5分）
    ②当两条切线的斜率都存在时，即$x≠±\sqrt{2}$时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，
    则切线方程为y-y0=k（x-x0），
    与椭圆方程联立消元得$（3+2{k^2}）{x^2}+4k（{y_0}-k{x_0}）x+2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-6=0$…（6分）
    由于直线y-y0=k（x-x0）是椭圆的切线，
    故$△={[4k（{y_0}-k{x_0}）]^2}-4（3+2{k^2}）[2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-6]=0$，
    整理得$（2-x_0^2）{k^2}+2{x_0}{y_0}k-（y_0^2-3）=0$…（8分）
    切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，故${k_1}{k_2}=-\frac{y_0^2-3}{2-x_0^2}$，…（10分）
    点P在圆x2+y2=5上，故$y_0^2-3=2-x_0^2$，所以k1k2=-1，所以$∠APB=\frac{π}{2}$．
    综上可知：∠APB的大小为定值$\frac{π}{2}$，得证…（12分）

    点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．

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